On a class of predator-prey models of Gause type with Allee effect and a square-root functional response

Resumen

Un modelo depredador-presa de tipo Gause es una extensión del clásico modelo depredador-presa de Lotka-Volterra. En este trabajo estudiamos un modelo depredador-presa de tipo Gause, donde el crecimiento de las presas es sujeto a un efecto Allee y la acción del depredador sobre la presa es dada por una funcional de respuesta de raíz cuadrada, la cual no es diferenciable en el eje y. Este tipo de respuesta funcional modela apropiadamente sistemas en los cuales la presa posee un fuerte comportamiento de rebaño, pues los depredadores interactúan con las presas mayormente en la frontera del rebaño. Debido al término de raíz cuadrada en la respuesta funcional, el estudio del comportamiento de las soluciones cerca al origen es más sutil e interesante que en otros modelos.
Nuestro estudio es dividido en dos partes: la clasificación local de los puntos de equilibrio, y el comportamiento de las soluciones en cierto conjunto invariante cuando el modelo tiene un efecto Allee fuerte. En uno de nuestros resultados principales probamos, para una amplia selección de parámetros, que las soluciones en cierto conjunto invariante se aproximan al eje y. Además, para cierta elección de parámetros, probamos la existencia de una curva separatriz que divide el conjunto invariante en dos regiones: una donde toda solución se aproxima al eje y, y otra donde hay un punto de equilibrio global y asintóticamente estable. También damos condiciones para asegurar la existencia de un equilibrio de tipo centro, y mostramos la existencia de una bifurcación de Hopf.